Історичні відомості про квадратні рівняння і не тільки

Мухамед аль-Хорезмі

Розв'язування рівнянь другого степеня, зокрема й квадратних, у стародавні часи було викликане потребою вирішувати проблеми пов'язані з поділом землі, знаходженням її площі, земельними роботами військового характеру, а також із розвитком таких наук, як математика й астрономія. Квадратні рівняння окремих видів вміли розв'язувати вавилонські вчені ще близько 2 тис. років до нашої ери. Згодом розв'язували їх також у Китаї і Греції. Особливу увагу квадратним рівнянням приділив Мухамед аль-Хорезмі (ІХ ст.). Він показав, як розв'язувати (при додатних числах a і b, на той час від'ємних чисел не визнавали) рівняння видів 

x²+ax=b,   x²+a=bx,   ax+b=x²,

не використовуючи будь-яких виразів, навіть числа записував словами. Наприклад, рівняння x²+21=10x він вчив розв'язувати так: "Поділи навпіл корені, вийде п'ять, і помнож це на рівне йому - буде двадцять п'ять, і відніми від цього  числа двадцять один, то залишиться чотири, добудь з цього корінь, буде два, і відніми це від половини коренів, тобто від п'яти, - залишиться три; це й буде корінь, який ти шукаєш". Від'ємних коренів тоді не визначали.

Індійські вчені у вирішенні цього питання пішли далі. Вони знаходили і від'ємні корені рівнянь. Наприклад, Бхаскара (1114 -1178), розв'язуючи рівняння x²-45x=250, знаходить два корені 50 і -5. Тільки після цього зауважує: "Друге значення в даному випадку не слід брати, бо люди не схвалюють від'ємних абстрактних чисел".

Давньогрецькі та індійські математики розв'язували деякі види квадратних рівнянь геометрично (з використанням геометричних побудов).

Алгебраїчні задачі на складання рівнянь індійські математики записували у віршованій формі й розглядали їх як окремий вид мистецтва. Вони пояснювали:  "Як сонце затьмарює зірки своїм сяйвом, так і вчена людина може затьмарювати славу інших в народних зібраннях, пропонуючи алгебраїчні задачі і тим паче, розв'язуючи їх".

Франсуа Вієт

Формули коренів квадраного рівняння вивів Франсуа Вієт (1540-103). Теорему, яку тепер називають його ім'ям, учений формулював так: "Якщо (B+D)A-A² дорівнює BD, то А дорівнює В  і дорівнює D". Від'ємних коренів він не розглядав.

Сучасні способи розв'язування квадратних рівнянь поширилися завдяки працям Рене Декарта (1596-1650) та Ісака Ньютона (1643-1727).

Математики середньовічного Сходу шукали також способи розв'язування кубічних рівнянь - рівнянь виду ax³+bx²+cx+d=0, де a≠0. Проте вивести загальну формулу для коренів таких рівнянь їм не вдалося.

Розв'язали цю проблему у Європі. Отримана в XVI ст. формула для коренів кубічного рівняння стала першим великим відкриттям європейської математики.

Нікколо Тарталья

У  XVI ст. в Італії були поширені математичні турніри, на яких переможцем визнавали того, хто розв'яже більше задач, запропанованих суперником. Учасник турніру міг пропанувати лише ті задачі, які сам міг розв'язати. Тому коли математик знаходив метод розв'язування задач певного типу, він не поспішав розкривати свій секрет. Володіючи таємницею, він міг викликати на математичні турніри інших математиків і, перемагаючи їх, здобувати славу неперевершеного математика. Коли одному з італійських математиків став відомий спосіб розв'язування рівнянь виду x³+px=q, де p і q - додатні числа, він викликав на математичний турнір математика-самоучку Нікколо Тарталью (1499-1557). За кілька днів до турніру Тарталья знайшов загальний метод розв'язування кубічних рівнянь і переміг, швидко розв'язавши всі 30 задач, запропанованих йому суперником.

Знайдену Тартальєю формулу для коренів кубічного рівняння опублікував італійський учений Джероламо Кардано. Згодом Луїджі Фераррі (1522-1565), учень Кардано, знайшов спосіб розв'язування рівнянь 4-го степеня.

Нільс Абель

Формули для коренів рівнянь від 1-го степеня до 4-го степенів виражають ці корені через коефіцієнти рівняння. Якщо всі корені рівняння можна виразити через його коефіцієнти за допомогою скінченного числа дій додавання, віднімання, множення, ділення і добування кореня, то кажуть, що це рівняння можна розв'язати алгебраїчно, або розв'язати в радикалах.

Чи можна розв'язати в радикалах рівняння п'ятого і вищих степенів? Протягом майже трьох століть спроби математиків відповісти на це питання були невдалими. Лише на початку ХІХ століття норвезький математик Нільс Абель (1802-1829) довів, що такі рівняння в загальному випадку розв'язати в радикалах неможливо.

Проте це не означає, що коренів рівнянь вище четвертого степеня не можна знайти. Не існує лише загальних формул, які виражали б корені через коефіцієнти рівняння.

Використані джерела:

• Бевз Г. П., Бевз В. Г. Алгебра:  підручник для 8 клас загальноосвітніх навчальних закладів, 2016 рік;
• Кравчук В. Алгебра: підручник для 8 кл. загальноосвітніх навчальних закладів, 2016 рік;
• https://uk.wikipedia.org.